Probleme rezolvate matematica

Trimis la data: 2013-07-14 Materia: Matematica Nivel: Liceu Pagini: 6 Nota: / 10 Downloads: 0
Autor: tica1234ticabogd Dimensiune: 129kb Voturi: Tipul fisierelor: pdf Acorda si tu o nota acestui curs: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
vezi mai multe detalii vezi mai putine detalii
Raporteaza o eroare
1. S a se arate ca daca f :R →R este o functie aditiva si neinjectiva,
atunci pentru orice xaˆˆR multimea f aˆ’1 ({ f (x)}) este densa in R.
Solutie. Deoarece f nu este injectiva, exista aˆˆR 1 2 x , x , 1 2 x a‰  x astfel ca
( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 1 2 1 2 1 2 f x = f x a‡" f x aˆ’ f x = a‡" f x aˆ’ x a‰  . Notand 0 0 1 2 x = x aˆ’ x a‰ 
avem ( ) 0 0 f x = si ( ) 0 0 f qx = , qaˆˆQ . Multimea {x + qx | qaˆˆ } = A 0 Q este
densa in R (pentru orice xaˆˆR) si ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 f x + qx = f x + qf x = f x , deci
AaŠ‚ f aˆ’1 ({ f (x)})
Referate similare: Nu exista cursuri similare

2. S a se arate ca daca f :R →R este o functie aditiva surjectiva,
atunci f este bijectiva sau f are proprietatea lui Darboux.
Solutie. Daca f nu este bijectiva, din surjectivitate rezulta ca f este
neinjectiva. Din problema 1.1.1, rezulta ca pentru orice yaˆˆR multimea
f aˆ’1 ({y}) este densa in R. Daca y este intre f (a) si f (b) , multimea f aˆ’1 ({y})
fiind densa, are elemente intre a si b. Daca xaˆˆ(a,b)aˆ© f aˆ’1 ({y}) atunci
xaˆˆ(a,b) si f (x) = y .

3. Fie f :R →R o functie aditiva, neinjectiva. Sa se arate ca pentru
orice aaˆˆR multimea N {x | f (x) f (a)} a = aˆˆR = este densa in R.
Solutie. Deoarece f este neinjectiva, exista 1 2 x a‰  x astfel ca
( ) ( ) ( ) 0 1 2 1 2 f x = f x a‡" f x aˆ’ x = . Daca notam 0 0 1 2 x = x aˆ’ x a‰  , atunci multimea
{a + qx | qaˆˆ } = A 0 Q este densa in R si
( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 f a + qx = f a + qf x = f a
adica a A aŠ‚ N , deci a N este densa in R.
4. Fie f :R →R o functie aditiva cu proprietatea ca exista aˆˆR 0 0 x , y
astfel ca ( ) ( ) 0 0 0 0 x f y a‰  y f x . Sa se arate ca oricare ar fi numerele reale a < b si

A < B multimile f ([a,b]) si f aˆ’1 ([A,B]) sunt dense in R.
Solutie. Functia g :R →R , g(x) = f (x) aˆ’ xf (1) este aditiva si
( ) ( ) 0 0 0 0 x g y a‰  y g x , deci ( ) 0 0 g x a‰  sau ( ) 0 0 g y a‰  .
Sa presupunem ca ( ) 0 0 g x a‰  ( 0) 0 x a‰  si evident g(q) = 0 , qaˆˆQ .
Multimile { ( ) } 0 qg x qaˆˆQ si { ' | ' } 0 q +qx q aˆˆQ sunt dense in R, deci
oricare ar fi intervalele [c,d]aŠ‚ R si [a,b]aŠ‚ R , exista qaˆˆQ astfel ca
( ) [ , ] 0 qg x aˆˆ c d si exista q'aˆˆQ astfel ca ' [ , ] 0 q +qx aˆˆ a b . Avem:

  • pag. 1
  • pag. 2
  • pag. 3
  • pag. 4
  • pag. 5
  • pag. 6

Nota explicativa
Referatele si lucrarile oferite de Referate.ro au scop educativ si orientativ pentru cercetare academica.

Iti recomandam ca referatele pe care le downloadezi de pe site sa le utilizezi doar ca sursa de inspiratie sau ca resurse educationale pentru conceperea unui referat nou, propriu si original.

Referat.ro te invata cum sa faci o lucrare de nota 10!
Filmele zilei
Linkuri utile
Programeaza-te online la salonul favorit Descarca gratuit aplicatiile pentru iOS si Android Filmulete haioase Filme, poante si cele mai tari faze Jocuri Cele mai tari jocuri de pe net Referate scoala Resurse, lucrari, referate materiale pentru lucrari de nota 10 Bacalaureat 2019 Vezi subiectele examenului de Bacalaureat din 2019 Evaluare Nationala 2019 Ultimele informatii despre evaluare nationala
Toate imaginile, textele sau alte materiale prezentate pe site sunt proprietatea referat.ro fiind interzisa reproducerea integrala sau partiala a continutului acestui site pe alte siteuri sau in orice alta forma fara acordul scris al referat.ro. Va rugam sa consultati Termenii si conditiile de utilizare a site-ului. Informati-va despre Politica de confidentialitate. Daca aveti intrebari sau sugestii care pot ajuta la dezvoltarea site-ului va rugam sa ne scrieti la adresa webmaster@referat.ro.
Confidentialitatea ta este importanta pentru noi

Referat.ro utilizeaza fisiere de tip cookie pentru a personaliza si imbunatati experienta ta pe Website-ul nostru. Te informam ca ne-am actualizat politica de confidentialitate pentru a integra cele mai recente modificari privind protectia persoanelor fizice in ceea ce priveste prelucrarea datelor cu caracter personal. Inainte de a continua navigarea pe Website-ul nostru te rugam sa aloci timpul necesar pentru a citi si intelege continutul Politicii de Cookie. Prin continuarea navigarii pe Website-ul nostru confirmi acceptarea utilizarii fisierelor de tip cookie conform Politicii de Cookie. Nu uita totusi ca poti modifica in orice moment setarile acestor fisiere cookie urmarind instructiunile din Politica de Cookie.


Politica de Cookie
Am inteles