Algebra si analiza de clasa a 11-a

Trimis la data: 2005-04-14 Materia: Matematica Nivel: Liceu Pagini: 39 Nota: / 10 Downloads: 13830
Autor: Marius Petrescu Dimensiune: 1944kb Voturi: Tipul fisierelor: doc Acorda si tu o nota acestui referat: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
vezi mai multe detalii vezi mai putine detalii
Raporteaza o eroare
Acest concept l-am întalnit înca din primul an de liceu, atunci când s-a pus problema rexolvarii unui sistem de două ecuaţii cu două necunoscute x, y, de forma .



Acestui sistem i-am asociat un teblou pătratic, care conţine coeficienţii necunoscutelor (în prima linie sunt coeficienţii lui x, y din prima ecuaţie, iar in a doua linie figurează coeficienţii lui x, y din ecuaţia a doua): .

MATRICI ŞI DETERMINANŢI



MATRICI

1.1. Despre matrici

Acest concept l-am întalnit înca din primul an de liceu, atunci când s-a pus problema rexolvarii unui sistem de două ecuaţii cu două necunoscute x, y, de forma .
Acestui sistem i-am asociat un teblou pătratic, care conţine coeficienţii necunoscutelor (în prima linie sunt coeficienţii lui x, y din prima ecuaţie, iar in a doua linie figurează coeficienţii lui x, y din ecuaţia a doua): .
Am numit acest tablou matrice pătratică (sau matricea sistemului). Pe cele două coloane ale matricei figurează coeficienţii lui x (pe prima coloană a,) şi respectiv coeficienţii lui y (pe a doua coloană b, ).

Definiţie. Se numeşte matrice cu m linii şi n coloane (sau de tip ) un tablou cu m linii şi n coloane

ale cărui elemente sunt numere complexe.

Uneori această matrice se notează şi undeşi. Pentru elementul , indicele i arată linia pe care se află elementul, iar al doilea indice j indică pe ce coloană este situat.
Mulţimea matricilor de tip cu elemente numere reale se notează prin . Aceleaşi semnificaţii au şi mulţimile ,,.

Cazuri particulare
1) O matrice de tipul (deci cu o linie şi n coloane) se numeşte matrice linie şi are forma
.
2) O matrice de tipul (cu m linii şi o coloană) se numeşte matrice coloană şi are forma
.
3) O matrice de tipse numeşte nulă (zero) dacă toate elementele ei sunt zero. Se notează cu O
.
4) Dacă numărul de linii este egal cu numărul de coloane, atunci matricea se numeşte pătratică.
.
Sistemul de elemente reprezintă diagonala principală a matricii A, iar suma acestor elemente se numeşte urma matricii A notată Tr(A). Sistemul de elemente reprezintă diagonala secundară a matricii A.
Mulţimea acestor matrici se notează. Printre aceste matrici una este foarte importantă aceasta fiind

şi se numeşte matricea unitate (pe diagonala principală are toate elementele egale cu 1, iar în rest sunt egale cu 0).


1.2. Operaţii cu matrici

1.2.1. Egalitatea a două matrici

Definiţie. Fie,. Spunem că matricile A, B sunt egale şi scriem A = B dacă =, ,.

Exemplu: Să se determine numerele reale x, y astfel încăt să avem egalitatea de matrici
.
R. Matricile sunt egale dacă elementele corespunzătoare sunt egale, adică:
Rezolvând acest sistem găsim soluţia x = 1, y = -3.

1.2.2. Adunarea matricilor

Definiţie. Fie,,. Matricea C se numeşte suma matricilor A, B dacă: =+, ,.


Observaţii
1) Două matrici se pot aduna dacă sunt de acelaşi tip, adică dacă au acelaşi număr de linii şi acelaşi număr de coloane, deci A, B .
2) Explicit adunarea matricilor A, B înseamnă:
+=.

Exemplu: Să se calculeze A + B pentru:
1. ;
2.
R. 1. Avem

2. Avem
.

Proprietăţi ale adunării matricilor
(Asociativitatea adunării). Adunarea matricilor este asociativă, adică:
, A, B, C .
(Comutativitatea adunării). Adunarea matricilor este comutativă, adică:
, A, B.
(Element neutru). Adunarea matricilor admite matricea nulă ca element neutru, adică astfel încât A += A, A.
(Elemente opuse). Orice matrice A are un opus, notat, astfel încât
.

1.2.3. Înmulţirea cu scalari a matricilor

Definiţie.Fie C şi A =. Se numeşte produsul dintre scalarul C şi matricea A, matricea notată definită prin =.
Obs.: A înmulţi o matrice cu un scalar revine la a înmulţi toate elementele matricii cu acest scalar.

Deci =.
Exemplu Fie . Atunci 6A = .

Proprietăţi ale înmulţirii matricilor cu scalari
, C, A;
,C, A, B;
,C, A;
,1C, A;



1.2.4. Înmulţirea matricilor

Definiţie. Fie A =, B =. Produsul dintre matricile A şi B (în aceasta ordine), notat AB este matricea C = definită prin
, ,.

Observaţii
1) Produsul AB a două matrici nu se poate efectua întotdeauna decât dacă A, B, adică numărul de coloane ale lui A este egal cu numărul de linii ale lui B, când se obţine o matrice C = AB.
2) Dacă matricile sunt pătratice A, B atunci are sens întotdeauna atât AB cât şi BA, iar, în general, ABBA adică înmulţirea matricilor nu este comutativă.

Proprietăţi ale înmulţirii matricilor
(Asociativitatea înmulţirii). Înmulţirea matricilor este asociativă, adică
,A,B,C.
(Distributivitatea înmulţirii în raport cu adunarea). Înmulţirea matricilor este distributivă în raport cu adunarea matricilor, adică
A, B, C matrici pentru care au sens operaţiile de adunare şi înmulţire.
Dacă este matricea unitate, atunci
A.
Se spune că este element neutru în raport cu operaţia de înmulţire a matricilor.

1.2.5. Puterile unei matrici

Definiţie. Fie A. Atunci, , , …, , n. (Convenim ).


TEOREMA Cayley – Hamilton. Orice matrice A îşi verifică polinomul caracteristic .
Pentru n = 2.

.


polinom caracteristic

Generalizat.





DETERMINANŢI

2.1. Definiţia determinantului de ordin n4

Fie A= o matrice pătratică. Vom asocia acestei matrici un număr notat det(A) numit determinantul matricii A.

Definiţie. Dacă A= este o matrice pătratică de ordinul întâi, atunci
det(A) =.
Definiţie. Determinantul matricii este numărul

şi se numeşte determinant de ordin 2. Termenii , se numesc termenii dezvoltării determinantului de ordin 2.
Definiţie. Determinantul matricii
este numărul

şi se numeşte determinant de ordin 3. Termenii care apar în formulă se numesc termenii dezvoltării determinantului.

Pentru calculul determinantului de ordin trei se utilizează trei tehnici simple:

Regula lui Sarrus
Fie determinantul de ordin 3, Pentru a calcula un astfel de determinant se utilizează tabelul de mai jos.




(am scris sub determinant
primele două linii)



Se face produsul elementelor de pe diagonale. Produsul elementelor de pe o diagonală descendentă este cu semnul plus. Avem trei astfel de produse: .
Produsul elementelor de pe o diagonală ascendentă este cu semnul minus. Avem trei astfel de produse: .
Suma celor şase produse dă valoarea determinantului d de ordin 3. Acest procedeu de calcul se numeşte „regula lui Sarrus”.

Regula triunghiului
Am văzut că determinantul de ordin trei are în dezvoltarea sa şase termeni, trei cu semnul plus şi alţi trei cu semnul minus.
Primul termen cu plus se găseşte înmulţind elementele de pe diagonala principală, iar ceilalţi doi, înmulţind elementele situate în vârfurile celor două triunghiuri care au o latură paralelă cu cu diagonala principală. După aceeaşi regulă, referitoare la diagonala secundară, se obţin termenii cu minus.
Obs.: Atât „regula lui Sarrus” cât şi „regula triunghiului” se aplică numai determinanţilor de ordin 3.

Exemplu. Să se calculeze prin cele două metode de mai sus determinantul

R. Regula lui Sarrus.

Regula triunghiului


Recurent (sau dezvoltare după o linie sau o coloană)
Determinantul de ordin 3 are 6 ( = 3!) termeni dintre care trei sunt cu semnul plus, iar ceilalţi cu semnul minus.
Are loc următoarea proprietate:
, (1)
= . (2)
Observaţii
1) Egalitatea (1) se mai numeşte dezvoltarea determinantului după elementele liniei întâi, iar egalitatea (2) se numeşte dezvoltarea determinantului după elementele coloanei întâi.
2) Formulele (1) şi (2) sunt relaţii de recurenţă, deoarece determinantul de ordin 3 se exprimă cu ajutorul unor deteminanţi de ordin inferior (2).


2.2. Definiţia determinantului de ordin n

Voi defini în continuare determinantul de ordin n prin recurenţă cu ajutorul determinanţilor de ordin n – 1. Pentru aceasta sunt necesare unele precizări.
Fie A=.
Definiţie1. Se numeşte minor asociat elementului determinantul matricii pătratice de ordin n – 1 obţinut prin suprimarea liniei i şi coloanei j din matricea A. Se notează acest minor prin sau .
Definiţie2. Se numeşte complement algebric al elementului numărul . Exponentul al lui (–1) este suma dintre numărul liniei i şi coloanei j pe care se află .

Definiţie. Determinantul matricii A=de ordin n este suma produselor elementelor din prima linie cu complemenţii lor algebrici adică
.
Observaţii
1) Elementelor, liniilor şi coloanelor matricii A le vom spune de asemenea elementele, liniile şi coloanele determinantului
.
2) Formula din definiţie spunem că reprezintă dezvoltarea determinantului de ordin n după elementele primei linii.
3) Definiţia determinantului de mai sus este încă puţin eficientă (o voi ilustra mai jos pentru n = 4). De aceea se impune stabilirea unor proprietăţi ale determinanţilor care să fie comode atât ...

Nota explicativa
Referatele si lucrarile oferite de Referate.ro au scop educativ si orientativ pentru cercetare academica.

Iti recomandam ca referatele pe care le downloadezi de pe site sa le utilizezi doar ca sursa de inspiratie sau ca resurse educationale pentru conceperea unui referat nou, propriu si original.

Referat.ro te invata cum sa faci o lucrare de nota 10!
Filmele zilei
Linkuri utile
Programeaza-te online la salonul favorit Descarca gratuit aplicatiile pentru iOS si Android Filmulete haioase Filme, poante si cele mai tari faze Jocuri Cele mai tari jocuri de pe net Referate scoala Resurse, lucrari, referate materiale pentru lucrari de nota 10 Bacalaureat 2019 Vezi subiectele examenului de Bacalaureat din 2019 Evaluare Nationala 2019 Ultimele informatii despre evaluare nationala
Toate imaginile, textele sau alte materiale prezentate pe site sunt proprietatea referat.ro fiind interzisa reproducerea integrala sau partiala a continutului acestui site pe alte siteuri sau in orice alta forma fara acordul scris al referat.ro. Va rugam sa consultati Termenii si conditiile de utilizare a site-ului. Informati-va despre Politica de confidentialitate. Daca aveti intrebari sau sugestii care pot ajuta la dezvoltarea site-ului va rugam sa ne scrieti la adresa webmaster@referat.ro.
Confidentialitatea ta este importanta pentru noi

Referat.ro utilizeaza fisiere de tip cookie pentru a personaliza si imbunatati experienta ta pe Website-ul nostru. Te informam ca ne-am actualizat politica de confidentialitate pentru a integra cele mai recente modificari privind protectia persoanelor fizice in ceea ce priveste prelucrarea datelor cu caracter personal. Inainte de a continua navigarea pe Website-ul nostru te rugam sa aloci timpul necesar pentru a citi si intelege continutul Politicii de Cookie. Prin continuarea navigarii pe Website-ul nostru confirmi acceptarea utilizarii fisierelor de tip cookie conform Politicii de Cookie. Nu uita totusi ca poti modifica in orice moment setarile acestor fisiere cookie urmarind instructiunile din Politica de Cookie.


Politica de Cookie
Am inteles