Calculul suprafeteler plane

Trimis la data: 2004-05-25 Materia: Matematica Nivel: Liceu Pagini: 10 Nota: / 10 Downloads: 4869
Autor: Serban Popa Dimensiune: 55kb Voturi: Tipul fisierelor: doc Acorda si tu o nota acestui referat: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
vezi mai multe detalii vezi mai putine detalii
Raporteaza o eroare
Probleme in care se folosesc formulele de calcul a ariei unor suprafetze plane - Referat prezentat cu succes la concursuri.

PROBLEME IN CARE SE
FOLOSESC FORMULELE DE
CALCUL A ARIEI UNOR
SUPRAFETE PLANE
















Probleme in rezolvarea carora se folosesc formulele de calcul a ariei unor suprafete plane

Cap. 1 Introducere















Cap. 2 Formule pentru calculul ariilor
Aria triunghiului
Notatii: a,b,c-lungimile laturilor; p-semiperimetrul; ha ,hb ,hc-lungimea inaltimilor din A,B,C; r-raza cercului inscris; R-raza cercului circumscris; ra ,rb ,rc-razele cercurilor exinscrise; S-aria.

S=a∙ha/2 (definitie)
S=a∙b∙sinC
S=a2∙sinB∙sinC/2∙a∙sinA (si analoagele)
S= (Heron)
S=p∙r
S=
S=(p-a)∙ra (si analoagele)
S=rarbrc
S=p1∙R (p1-este semiperimetrul triunghiului artic)
Proprietatea de aditivitate: In ΔABC daca m(AB) si K atunci K

ARIA PATRULATERULUI CONVEX
Notatii generale: a,b,c,d-lungimile laturilor; d1,d2-lungimile diagonalelor; -masura unghiului format de diagonale; h-lungimea inaltimii(unde este cazul); S-aria
Definitie SABCD=SABC+SADC=SABD=SBCD
Din definitie alicand teorema de aditivitate a ariilor shi formula 2 pentru aria triunghiului se obtine formula generala: S=d1∙d2∙sin/2, de unde se obtine pentru patrulaterul ortodiagonal S=d1∙d2/2

ARIA PARALELOGRAMULUI
S=a∙ha=b∙hb ; S=a∙b∙sinB
ARIA DREPTUNGHIULUI
S=a∙b S=d2∙sin/2
ARIA ROMBULUI
S=a∙h S=a2∙sin u unde u={m(), m()} S=d1∙d2/2
ARIA TRAPEZULUI
S=(B+b)∙h/2 unde B,b sunt lungimile bazelor trapezului
ARIA UNUI PATRULATER INSCRIPTIBIL
S= unde p este semiperimetrul patrulaterului

Cap.3 PROBLEME REZOLVATE
Prob.1 In ABC avem AB=20cm si lungimile medianelor AA1 respectiv BB1 sunt 24cm si 18 cm. Sa se calculeze aria ABC.
Blaluca-Geometrie plana


A







B C
A1
Se da: ABC
[AA1] si [BB1] mediane
AB=20cm AA1=24cm BB1=18cm AA1BB1={G}
Se cere: ABC=?
Rezolvare:
ABG=∙∂ABA1=∙∂ΔABC=
AG=∙AA1AG=16cm
BG=∙BB!BG=12cm
∂ΔABG=∂ΔABG==96(cm2)
∂ΔABC=3∙96cm2=288cm2
Obs.Din Calculul masurilor laturilor ΔABG rezulta ca el este dreptunghic in G deci ∂ΔABC=c1∙c2/2=16∙12/2=96cm2
GENERALIZARE: Se utilizeaza acelasi rationament daca AB=a, AA1=x, BB1=y AG=2/3∙x, BG=2/3∙y.

Prob.2 Se da ΔABC oarecare si fie M mijlocul laturii [BC]. Fie N simetricul punctului A fata de M, iar P si Q simetricele punctului N fata de B si respectiv BC Sa se arate ca:
a)punctele A, P si Q sunt coliniare
b)poligoanele ACBP, ANP, QBNC sunt echivalente
c)patrulaterul NMQC are aceasi arie ca si triunghiul ABC
d)aria triunghiului ANP este dublul ariei triunghiului ABC
Balauca-Geometrie plana






P A Q




B M D C




N

Ip. ΔABC C: A,P,Q coliniare
M mijlocul lui BC ACBP, ANP, QBNC sunt echivalente
SM(A)=N ∂NMQC=∂ABC
SB(N)=P ∂ANP=2∂ABC
SBC(N)=Q
Demonstratie:
1.AM=MN Din 1 si 2 MB linie mijlocie in ΔANP BM paralel cu AP 11
2.BP=BN Din 3 si 4 MC linie mijlocie in ΔANQ MC paralel cu AQ 21
3.AM=MN
4.SBC(N)=Q
Din 11 si 21 conform postulatului lui Euclid prin A se duce o singura paralela la BC
P,A,Q sunt coliniare
b) 1.AM=MN Din 1 si 2 ANBC paralelogram
2.BM=MC
3.AC paralel cu BP Din 3 si 4 PACB paralelogram
4.PA paralel cu BC (din a)
∂ACBP=BC∙QD
∂ANP=PA∙NQ/2=2BC∙2∙QD/2=BC∙QD=∂ACBP
QNBC∂BQCN=BC∙QN/2=BC∙2QD/2∂ACBP=∂ANP=∂BQCN
c) ∂NMQC=MC∙NQ/2==BC∙QD/2=∂ABC
d)∂ANP=AP∙NQ/2=BC∙2QD/2=2∂ABC
Prob.3 Daca in triunghiul ABC, AD si AM sun bisectoare respectiv mediana sa se arate ca d(M,AC)∙DC=d(M,AB)∙DB unde D,M BC.
Balauca-geometrie plana





A


F E


C
B D M

Ip: ΔABC
AM mediana
AD bisectoarea BAC
C: d(M,AC)∙DC=d(M,AB)∙DB
Demonstratie:
M mijlocul lui BC∂ABM=∂AMC

AD bisectoare
d(M,AC)∙DB=d(M,AB)∙DC

Prob.4 Fie patratul ABCD si M(AB), iar E si F proiectiile varfurilor B respectiv D pe CM. Daca BE=72cm si DF=96cm calculati:
Dan Branzei-Matemetica in concursurile scolare
daca |AB|=120cm
M
A B



F


D C



Se da:ABCD patrat Se cere: |BM|/|MA|=?
M(AB) ∂BEDF/∂ABCD=?
BEMC
DFMC
DF=96
BE=72
Rezolvare:
∂ΔDCM/∂MBC==DF/BE===
1)=
2)∂MBCD=
3)∂MBC=
Din 1,2,3
Daca AB=120cmMB=
F.PMC2=MB2+BC2
BE inaltime in ΔMBC(m)(cm)
MB2=ME∙MC8100=ME∙150
ME=8100/150=54cm
DF∙MC=DC∙BC
DF==96cm
FC2=DC2-DF2FC2=1202-962=24∙146=4∙6∙6∙36
EF=150-(72+54)=150-126=24cm
∂BEDF=(cm2)


Prob.5 Utilizand figurile urmatoare dati doua demonstratii prin arii ale teoremei lui Pitagora.
G. Turcitu-Geometrie plana







D c P b C D b C

c
b N c

aa

Q b E


A b M c B A c B

SOLUTIE 1
Ip ABCD patrat
AM=BN=PC=DQ=b
QM=MN=PN=QP=a
AQ=MB=CN=DP=c
C b2+c2=a2
Demonstratie:
1.AM=CP=DQ=BN=b
2.MB=NC=PD=QA=c
Din 1 si 2 pe baza cazului de congruenta cateta-catetaΔAMQ≡ΔBNM≡ΔCPN≡ΔPDQ
∂ΔAMQ=∂ΔBNM=∂ΔCPN=∂ΔPDQ=
∂MNPQ=a2
∂ABCD=∂MNPQ+4∂AMQ=a2+=a2+2bc
(b+c)2=a2+2bcb2+c2=a2
SOLUTIE 2
Ip ABCD trapez dreptunghic
AB paralel cu DC, m
EAD
DC=AE=b, DE=AB=c, CE=EB=a
C:a2=b2+c2
Demonstratie:
ADAB, AB paralel cu DC
1.AB=DE=c
2.DC=AE=b
3.mD=mA=
Din 1,2,3 ΔABE≡ΔDEC[EC]≡[EB], m≡mABEm si CE=EB
∂ABCD=
∂ABCD=2∂ABE+∂BEC=2∙
Prob.6 Dintre toate triunghiurile ABC de laturi AB=c si AC=b, sa se determine cel de arie maxima.
Prob 23/130 G. Turcitu-Geometrie plana



Demonstratie:
∂ΔABC=
∂ΔABC este maximasinA=maxim
Triunghiul de arie maxima este triunghiul dreptunghic in A

Prob.7 Sa se demonstreze teorema bisectoarei folosind ariile.
Prob47 G. Turcitu-Geometrie plana




A




B D A1 C

Ip: ΔABC
[AA1 bisectoarea
ADBC, A1, D(BC)
C:
Demonstratie:
1.∂ΔABA1=
2.∂AA1C=
Din 1 si 2

Prob.8 In triunghiul echilateral ABC cu inaltimile AD si BE si ortocentrul H. Demonstrati ca aria ABH este egala cu aria HDCE.
A E:12517-GM 3/2003 pagina 133
A


E





B D C

Ip:ABC triunghi echilateral
ADBC
BEAC
ADBE={H}
C:Aria ABH=ariaHDCE
Demonstratie:
In triunghul echilateral ortocentrul coincide cu centrul de greutate al triunghiului.
∂HDCE=∂ADC-∂AHE
ΔAHE≡ΔBHD1.
2.AH=BH
3.≡
Din 1, 2 si 311.∂AHE=∂BHD
21.∂ΔABD=∂ΔADC
Din 11 si 21∂ABD-∂AHD=∂ADC-∂BHD∂ABH=∂HDEC





































Bibliografie:
V. Barbulescu – Caleidoscop ...

Nota explicativa
Referatele si lucrarile oferite de Referate.ro au scop educativ si orientativ pentru cercetare academica.

Iti recomandam ca referatele pe care le downloadezi de pe site sa le utilizezi doar ca sursa de inspiratie sau ca resurse educationale pentru conceperea unui referat nou, propriu si original.

Referat.ro te invata cum sa faci o lucrare de nota 10!
Filmele zilei
Linkuri utile
Programeaza-te online la salonul favorit Descarca gratuit aplicatiile pentru iOS si Android Filmulete haioase Filme, poante si cele mai tari faze Jocuri Cele mai tari jocuri de pe net Referate scoala Resurse, lucrari, referate materiale pentru lucrari de nota 10 Bacalaureat 2019 Vezi subiectele examenului de Bacalaureat din 2019 Evaluare Nationala 2019 Ultimele informatii despre evaluare nationala
Toate imaginile, textele sau alte materiale prezentate pe site sunt proprietatea referat.ro fiind interzisa reproducerea integrala sau partiala a continutului acestui site pe alte siteuri sau in orice alta forma fara acordul scris al referat.ro. Va rugam sa consultati Termenii si conditiile de utilizare a site-ului. Informati-va despre Politica de confidentialitate. Daca aveti intrebari sau sugestii care pot ajuta la dezvoltarea site-ului va rugam sa ne scrieti la adresa webmaster@referat.ro.
Confidentialitatea ta este importanta pentru noi

Referat.ro utilizeaza fisiere de tip cookie pentru a personaliza si imbunatati experienta ta pe Website-ul nostru. Te informam ca ne-am actualizat politica de confidentialitate pentru a integra cele mai recente modificari privind protectia persoanelor fizice in ceea ce priveste prelucrarea datelor cu caracter personal. Inainte de a continua navigarea pe Website-ul nostru te rugam sa aloci timpul necesar pentru a citi si intelege continutul Politicii de Cookie. Prin continuarea navigarii pe Website-ul nostru confirmi acceptarea utilizarii fisierelor de tip cookie conform Politicii de Cookie. Nu uita totusi ca poti modifica in orice moment setarile acestor fisiere cookie urmarind instructiunile din Politica de Cookie.


Politica de Cookie
Am inteles