Cel mai mare divizor comun si cel mai mic multiplu comun

Trimis la data: 2007-01-24 Materia: Matematica Nivel: Gimnaziu Pagini: 6 Nota: / 10 Downloads: 4232
Autor: Alin Dimensiune: 27kb Voturi: Tipul fisierelor: doc Acorda si tu o nota acestui referat: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
vezi mai multe detalii vezi mai putine detalii
Cel mai mare divizor comun si cel mai mic multiplu comun definitie. Numarul intreg d este cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) al numerelor intregi a si b (notam d=(a, b)), daca satisface conditiile:
d | a si d | b; Cel mai mare divizor comun si cel mai mic multiplu comun
Raporteaza o eroare

Cel mai mare divizor comun si cel mai mic multiplu comun tema. Fie m, n, p trei numere naturale astfel incat m=n+p. Daca numarul natural nenul q divide oricare doua dintre numerele m,n,p atunci q divide si pe al treilea numar.

Cel mai mare divizor comun si cel mai mic multiplu comun demonstratie. Fie q|n si q|p. Atunci u, v N : n=qu si p=qv. Rezulta m=q(u+v), deci q|m. Fie acum q|m si q|n. Atunci t, s N : m=qt si n=qs. Din qt=qs+p rezulta qs  qt si cum q>0 obtinem s  t, de unde rezulta ca w N asa incat t = s+w. Din qt = qs+p rezulta qs+qw=qs+p, deci qw=p, unde q|p.

Analog se arata ca din q|m si q|p rezulta q|n.

Lema. Daca x, y,q,r N satisfac egalitatea x=yq+r atunci exista cel mai mare divizor comun al lui x si y daca si numai daca exista cela mai mare divizor comun al lui y si r. In plus, avem (x, y) = (y, r).

Demonstratie. Presupunem ca exista cel mai mare divizor comun al lui x si y, pe care-l notam cu d. Din d|x si d|y rezulta, conform lemei anterioare, ca d|r, deci avem d|y si d|r.

Fie acum d’ N, asa incat d’|y si d’|r. Conform aceleasi leme, rezulta ca d’|x si deci d’|x si d’|y, adica d’|d. Asadar, d este cel mai mare divizor comun al lui y si r si avem (y, r) = d = (x, y).

Reciproc, presupunand ca exista cel mai mare divizor comun al numerelor y si r, pe care il notam cu d, va rezulta d|y si d|r, unde d|qy+r=x, deci avem d|x si d|y.

Fie acum d’ N, asa incat d’|x si d’|y. Obtinem d’|r, deci d’|y si d’|r, de undew d’|d. Astfel, d este cel mai mare divizor comun al lui x si y si avem (x, y)=d=(y, r).

Teorema. Fie a, b N . Atunci exista si este unic cel mai mare divizor comun al numerelor a si b.

Demonstratie. Daca a=b=0, atunci cel mai mare divizor comun este 0. Presupunem, in continuare, b 0. Procedeul de determinare pe care-l vom folosi poarta numele de Algoritmul lui Euclid.

Nota explicativa
Referatele si lucrarile oferite de Referate.ro au scop educativ si orientativ pentru cercetare academica.

Iti recomandam ca referatele pe care le downloadezi de pe site sa le utilizezi doar ca sursa de inspiratie sau ca resurse educationale pentru conceperea unui referat nou, propriu si original.

Referat.ro te invata cum sa faci o lucrare de nota 10!
Filmele zilei
 
Linkuri utile
Programeaza-te online la salonul favorit Descarca gratuit aplicatiile pentru iOS si Android Filmulete haioase Filme, poante si cele mai tari faze Jocuri Cele mai tari jocuri de pe net Referate scoala Resurse, lucrari, referate materiale pentru lucrari de nota 10 Bacalaureat 2012 Vezi subiectele examenului de Bacalaureat din 2012 Rezultate Bacalaureat 2012 Aici se vor afisa rezultatele examenului de Bacalaureat 2012
Toate imaginile, textele sau alte materiale prezentate pe site sunt proprietatea referat.ro fiind interzisa reproducerea integrala sau partiala a continutului acestui site pe alte siteuri sau in orice alta forma fara acordul scris al referat.ro. Va rugam sa consultati Termenii si conditiile de utilizare a site-ului. Informati-va despre Politica de confidentialitate. Daca aveti intrebari sau sugestii care pot ajuta la dezvoltarea site-ului va rugam sa ne scrieti la adresa webmaster@referat.ro.