C.m.m.d.c si C.m.m.m.c

Trimis la data: 2007-06-05 Materia: Matematica Nivel: Gimnaziu Pagini: 9 Nota: / 10 Downloads: 4451
Autor: Alexa petrescu Dimensiune: 51kb Voturi: Tipul fisierelor: doc Acorda si tu o nota acestui referat: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
vezi mai multe detalii vezi mai putine detalii
Raporteaza o eroare
Documentul contine definitii, demonstratii, algoritmul lui euclid, teorema lui Bezout, consecinte ale teoremei lui Bezout.

C.m.m.d.c

Definitie. Numărul întreg d este cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) al numerelor întregi a şi b (notăm d=(a, b)), dacă satisface condiţiile:
d | a şi d | b;
pentru orice întreg , pentru care |a şi |b, rezultă |d.
Lemă. Fie m, n, p trei numere naturale astfel încât m=n+p. Dacă numărul natural nenul q divide oricare două dintre numerele m,n,p atunci q divide şi pe al treilea număr.

Demonstraţie. Fie q|n şi q|p. Atunci u, v N : n=qu şi p=qv. Rezultă m=q(u+v), deci q|m. Fie acum q|m şi q|n. Atunci t, s N : m=qt şi n=qs. Din qt=qs+p rezultă qs  qt şi cum q>0 obţinem s  t, de unde rezultă că w N aşa încât t = s+w. Din qt = qs+p rezultă qs+qw=qs+p, deci qw=p, unde q|p.
Analog se arată că din q|m şi q|p rezultă q|n.

Lemă. Dacă x, y,q,r N satisfac egalitatea x=yq+r atunci există cel mai mare divizor comun al lui x şi y dacă şi numai dacă există cela mai mare divizor comun al lui y şi r. În plus, avem (x, y) = (y, r).
Demonstraţie. Presupunem că există cel mai mare divizor comun al lui x şi y, pe care-l notăm cu d. Din d|x şi d|y rezultă, conform lemei anterioare, că d|r, deci avem d|y şi d|r.

Fie acum d’ N, aşa încât d’|y şi d’|r. Conform aceleaşi leme, rezultă că d’|x şi deci d’|x şi d’|y, adică d’|d. Aşadar, d este cel mai mare divizor comun al lui y şi r şi avem (y, r) = d = (x, y).
Reciproc, presupunând că există cel mai mare divizor comun al numerelor y şi r, pe care îl notăm cu d, va rezulta d|y şi d|r, unde d|qy+r=x, deci avem d|x şi d|y.

Fie acum d’ N, aşa încât d’|x şi d’|y. Obţinem d’|r, deci d’|y şi d’|r, de undew d’|d. Astfel, d este cel mai mare divizor comun al lui x şi y şi avem (x, y)=d=(y, r).
Teoremă. Fie a, b N . Atunci există şi este unic cel mai mare divizor comun al numerelor a şi b.
Demonstraţie. Dacă a=b=0, atunci cel mai mare divizor comun este 0. Presupunem, în continuare, b 0. Procedeul de determinare pe care-l vom folosi poartă numele de Algoritmul lui Euclid.

C.m.m.m.c

Definiţie. Numărul întreg m este cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) al numerelor întregi a şi b (notăm m=[a, b]) dacă satisface condiţiile:
a | m şi b | m;
pentru orice întreg , pentru care a |  si b | , rezultă m | .
Teoremă. Pentru orice a, b N există su este unic cel mai mic multiplu comun al lor.
Demonstraţie.Dacă a=0 sau b=0,atunci singurul multiplu a lui a şi b este 0.
Presupunem în continuare că a0 şi b0, prin urmare 0 nu divide ab, deci 0 nu satisface condiţiile de a fi cel mai mic multiplu comun pentru a şi b.

Considerăm mulţimea: Ma,b={m’ N* | a|m’ şi b|m’}.
Din faptul că ab Ma,b:m  m’, oricare ar fi m’ Ma,b.
Vom arăta că m=[a,b].
Din m Ma,b rezultă a|m şi b|m.

Aplicăm teorema împărţirii cu rest pentru m’ şi m. Rezultă că există q, r aşa încât m’=mq+r, 0r m1|m2.
Rezultă atunci că m1 |m şi m|m1 deci m=m1.

Nota explicativa
Referatele si lucrarile oferite de Referate.ro au scop educativ si orientativ pentru cercetare academica.

Iti recomandam ca referatele pe care le downloadezi de pe site sa le utilizezi doar ca sursa de inspiratie sau ca resurse educationale pentru conceperea unui referat nou, propriu si original.

Referat.ro te invata cum sa faci o lucrare de nota 10!
Filmele zilei
Linkuri utile
Programeaza-te online la salonul favorit Descarca gratuit aplicatiile pentru iOS si Android Filmulete haioase Filme, poante si cele mai tari faze Jocuri Cele mai tari jocuri de pe net Referate scoala Resurse, lucrari, referate materiale pentru lucrari de nota 10 Bacalaureat 2019 Vezi subiectele examenului de Bacalaureat din 2019 Evaluare Nationala 2019 Ultimele informatii despre evaluare nationala
Toate imaginile, textele sau alte materiale prezentate pe site sunt proprietatea referat.ro fiind interzisa reproducerea integrala sau partiala a continutului acestui site pe alte siteuri sau in orice alta forma fara acordul scris al referat.ro. Va rugam sa consultati Termenii si conditiile de utilizare a site-ului. Informati-va despre Politica de confidentialitate. Daca aveti intrebari sau sugestii care pot ajuta la dezvoltarea site-ului va rugam sa ne scrieti la adresa webmaster@referat.ro.
Confidentialitatea ta este importanta pentru noi

Referat.ro utilizeaza fisiere de tip cookie pentru a personaliza si imbunatati experienta ta pe Website-ul nostru. Te informam ca ne-am actualizat politica de confidentialitate pentru a integra cele mai recente modificari privind protectia persoanelor fizice in ceea ce priveste prelucrarea datelor cu caracter personal. Inainte de a continua navigarea pe Website-ul nostru te rugam sa aloci timpul necesar pentru a citi si intelege continutul Politicii de Cookie. Prin continuarea navigarii pe Website-ul nostru confirmi acceptarea utilizarii fisierelor de tip cookie conform Politicii de Cookie. Nu uita totusi ca poti modifica in orice moment setarile acestor fisiere cookie urmarind instructiunile din Politica de Cookie.


Politica de Cookie
Am inteles