Curbe

Trimis la data: 2006-09-10 Materia: Matematica Nivel: Liceu Pagini: 14 Nota: / 10 Downloads: 948
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Curbe - Soit f : D  R ! R, une fonction d´efinie sur un domaine D de R.
Un rep`ere orthonorm´e ´etant choisi dans le plan, on appelle courbe repr´esentative de f, ou encore graphe de f, l’ensemble des points du plan de coordonn´ees (x, f(x)), x 2 D.Curbe

Curbe - 1.2 Convexite

Curbe - Soit f : [a, b]  R ! R une fonction d´efinie sur un intervalle [a, b] de R. On dit que f est convexe sur [a, b] ”de concavit´e tourn´ee vers les y positifs ”, si pour tout couple de points M1,M2 de la courbe repr´esentative de f, le segment M1M2 (”la corde”) est enti`erement situ´e au dessus de la courbe.

En formule:
f[x1 + t(x2 − x1)] 6 f(x1) + t[f(x2) − f(x1)] 8t 2 [0, 1], 8x1, x2 2 [a, b]

De mˆeme, on dit que f est concave sur [a, b] ”de concavit´e tourn´ee vers les y n´egatifs ”, si pour tout couple de points M1,M2 de la courbe repr´esentative de f, le segment M1M2 (”la corde”) est enti`erement situ´e au dessous de la courbe.

Theoreme 1.2.1 Si f admet une d´erivee seconde f00 partout positive sur [a, b], alors f est convexe sur [a, b]

Dem: ISoient x1 et x2 les abscisses des points M1 et M2 et soit y = mx+p l’´equation de la droite M1M2. La quantit´e '(x) = f(x)−(mx+p) mesurant la diff´erence des ordonn´ees d’un point de la courbe et d’un point de la droite de mˆeme abscisse x , v´erifie:

'0(x) = f0(x) − m donc '00(x) = f00(x) > 0.
'0 est donc croissante sur [a, b]. D’autre part puisque '(x1) = '(x2) = 0, il existe c 2 [x1, x2] tel que '0(c) = 0 (Th de Rolle). Ainsi '0(x) 6 0 pour x 2 [x1, c] et '0(x) > 0 pour
x 2 [c, x2], et donc ' est d´ecroissante sur [x1, c] et croissante sur [c, x2].

Finalement '(x) 6 0 sur l’intervalle [x1, x2], ce qui signifie bien que la corde M1M2 est situ´ee au-dessus de la courbe Th´eor`eme 1.2.2 Si f admet une d´erivee seconde f00 partout positive sur [a, b], alors pour
tout point M0 d’abscisse x0, x0 2 [a, b], la courbe est toute enti`ere situ´ee au dessus de sa tangente en M0.

Dem: ISoit t(x) = f(x0) + (x − x0)f0(x0) l’´equation de la tangente en M0 et h(x) = f(x)−t(x) la fonction mesurant la diff´erence des ordonn´ees entre un point de la courbe et un point de cette tangente, de mˆeme abscisse x. On a pour tout x dans l’intervalle [a, b] h0(x) = f0(x) − f0(x0) et h00(x) = f00(x) > 0 .

Par cons´equent, la fonction h0 est croissante, et comme h0(x0) = 0, on a h0(x) < 0 si x < x0, et h0(x) > 0, si x > x0. La fonction h est d´ecroissante sur [a, x0], et croissante sur [x0, b]; elle admet donc son minimum en x0, et comme h(x0) = 0, on a h(x)  0 pour tout
x dans [a, b].

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