Functia de gradul II

Trimis la data: 2002-07-01 Materia: Matematica Nivel: Liceu Pagini: 10 Nota: / 10 Downloads: 17824
Autor: Billy_boy Dimensiune: 23kb Voturi: Tipul fisierelor: doc Acorda si tu o nota acestui referat: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
vezi mai multe detalii vezi mai putine detalii
Această lucrare a fost realizată cu sprijinul corporaţiei „Paul & Co.” şi se adresează unor anumite categorii de persoane, şi anume elevilor de liceu care doresc să-şi aprofundeze cunoştinţele în domeniul matematicii. De asemenea această sinteză, scurtă şi la obiect, a funcţiei de gradul II este foarte utilă elevului modern din ziua de astăzi care nu se omoară cu învăţatul şi doreşte să facă într-aşa fel încât să scape cât mai repede. Lucrarea de faţă nu numai că-l face să reţină esenţialul într-o perioadă relativ scurtă, ba chiar îl poate atrage, şi pe viitor, cu siguranţă va rezerva mai mult timp studiului.
Raporteaza o eroare

Partea teoretică
DEFINIŢIA FUNCŢIEI DE GRADUL AL DOILEA. EXEMPLE

Definiţie. Fiind date numerele reale, a,b,c cu a( 0, funcţia f : R(R definită prin formula: f(x) = ax˛ + bx + c se numeşte funcţie de gradul al doilea cu coeficienţii a, b, c.
Deoarece domeniul şi codomeniul funcţiei de gradul al doilea este R vom indica această funcţie astfel:
f(x) = ax˛ + bx + c sau y = ax˛ + bx + c

O funcţie de gradul al doilea f : R(R, f(x) = ax˛ + bx + c este perfect determinată când se cunosc numerele reale a, b, c (a ( 0). Trebuie să observăm că în definiţia funcţiei de gradul al doilea condiţia a ( 0 este esenţială în sensul că ipoteza a = 0 conduce la funcţia de gradul întâi, studiată în clasa a VIII-a. Denumirea de funcţie de gradul al doilea provine din faptul că este definită prin intermediul trinomului de gradul al doilea aX˛ + bX + c.

Exemple de funcţii de gradul al doilea
f1 (x) = 7x˛ - 9x + 10, (a = 7, b = -9, c = 10);
f2 (x) = (2x˛ + (2x + 1, (a = (2, b = (2, c = 1);
f3 (x) = 0.51x˛ - 2x, (a = 0.51, b = -2, c = 0);
f4 (x) = x˛ + 0.31, (a = 1, b = 0, c = 0.31);
f5 (x) = -x˛ - 5x – 0.31, (a = -1, b = -5, c = -0.31).

VARIAŢIA Şi REPREZENTAREA GRAFICĂ A FUNCŢIEI DE GRADUL AL DOILEA

Forma canonică
Reamintim că pentru orice x ( R
ax˛ + bx + c = a[(x + b/2a)˛ - (b˛ - 4ac)/4a˛]
Rezultă că pentru orice x ( R, avem
f(x) = a[(x + b/2a)˛ - (b˛ - 4ac)/4a˛] (1)
Membrul drept al egalităţii (1) se numeşte forma canonică a funcţiei pătratice. Numărul Δ = b˛ - 4ac, discriminantul ecuaţiei asociate (ax˛ + bx + c = 0), se mai numeşte discriminantul funcţiei pătratice.
Observăm că f(-b/2a) = -Δ/4a

Exemple
2x˛ - x + 3 = 2[x˛ - 1/2x + 3/2] = 2[x˛ - 2*x*1/4x + 1/16 - 1/16 + 3/2] = 2[(x -1/4)˛ + 23/16] = 2(x – 1/4)˛ + 23/8;
-3x˛ - 4x + 5 = (-3)[x˛ + 4/3x - 5/3] = (-3)[x˛ + 2*2/3x + 4/9 - 4/9 - 5/3] = (-3)[(x + 2/3)˛ - 19/9] = (-3)(x +2/3)˛ + 19/3

Maximul şi minimul
Exemple
f : R(R, f(x) = 2x˛ - x - 3. Avem f(x) = 2(x - 1/4)˛ + 23/8, ( x ( R, deci f(1/4) = 23/8 şi f(x) ( f(1/4), ( x ( R.
Rezultă că 23/8 este cea mai mică valoare sau minimul funcţiei f pe R.
f : R(R, f(x) = -3x˛ - 4x + 5. Avem f(x) = -3(x +2/3)˛ + 19/3, ( x ( R, deci f(-2/3) = 19/3 şi f(x) ( f(-2/3), ( x ( R
Rezultă că 19/3 este cea mai mare valoare sau maximul funcţiei f pe R.
În general, având în vedere forma canonică a funcţiei pătratice f(x) = ax˛ + bx + c şi faptul că f(-b/2a) = -Δ/4a, rezultă că pentru orice x ( R
f(x) - f(-b/2a) = a(x + b/2a)˛
Constatăm că semnul diferenţei din membrul stâng depinde de semnul numărului a, deci pentru orice x ( R avem:
dacă a > 0, f(x) ( f(-b/2a), deci f admite un minim pe R;
dacă a < 0, f(x) ( f(-b/2a), deci f admite un maxim pe R;

Fie funcţia f : R(R, f(x) = ax˛ + bx + c, a ( 0.
Dacă a > 0, minimul funcţiei f pe R este –Δ/4a = f(-b/2a) iar punctul de minim este –b/2a.
Dacă a < 0, maximul funcţiei f pe R este –Δ/4a = f(-b/2a) iar punctul de maxim este –b/2a.

Sensul de variaţie (intervalele de monotonie)
Exemplu. Vom studia intervalele de monotonie ale funcţiilor g şi h definite pe R, g(x) = (x - 2( + 3 şi h(x) = -(x + 3( + 1. Avem:
g(x) = x + 1, x ( 2 h(x) = -x - 2, x ( -3
-x + 5, x < 2 x + 4, x < -3

Funcţia g are minimul în punctul x = 2 (g(x) ( g(2), adică (x - 2( + 3 ( 3 sau (x - 2( ( 0, ( x ( R) şi este strict descrescătoare pe (-∞; 2], strict crescătoare pe [2; + ∞). Funcţia h are maximul în punctul x = -3 (h(-3), ( x ( R) şi este strict crescătoare pe (-∞; -3], strict descrescătoare pe [-3; + ∞).

Fie funcţia f : R(R, f(x) = ax˛ + bx + c, a ( 0.
Dacă a > 0, atunci f are minim pe R şi vom arăta că se comportă analog cu funcţia g. Dacă a < 0, atunci f are un maxim şi vom arăta că se comportă analog cu funcţia h.

Nota explicativa
Referatele si lucrarile oferite de Referate.ro au scop educativ si orientativ pentru cercetare academica.

Iti recomandam ca referatele pe care le downloadezi de pe site sa le utilizezi doar ca sursa de inspiratie sau ca resurse educationale pentru conceperea unui referat nou, propriu si original.

Referat.ro te invata cum sa faci o lucrare de nota 10!
Filmele zilei
 
Linkuri utile
Programeaza-te online la salonul favorit Descarca gratuit aplicatiile pentru iOS si Android Filmulete haioase Filme, poante si cele mai tari faze Jocuri Cele mai tari jocuri de pe net Referate scoala Resurse, lucrari, referate materiale pentru lucrari de nota 10 Bacalaureat 2012 Vezi subiectele examenului de Bacalaureat din 2012 Rezultate Bacalaureat 2012 Aici se vor afisa rezultatele examenului de Bacalaureat 2012
Toate imaginile, textele sau alte materiale prezentate pe site sunt proprietatea referat.ro fiind interzisa reproducerea integrala sau partiala a continutului acestui site pe alte siteuri sau in orice alta forma fara acordul scris al referat.ro. Va rugam sa consultati Termenii si conditiile de utilizare a site-ului. Informati-va despre Politica de confidentialitate. Daca aveti intrebari sau sugestii care pot ajuta la dezvoltarea site-ului va rugam sa ne scrieti la adresa webmaster@referat.ro.