Notiuni de teoria functiilor complexe

Numerele complexe pot fi reprezentate grafic, alegand axa Oy ca axa imaginara si Ox ca axa reala . Astfel fiecarui numar complex z (x , y) i se poate atasa un punct M de abscisa x si de ordonata y . Intre punctele M ale planului si numerele complexe exista o astfel de corespondenta biunivoca : M se numeste imaginea lui z , iar z afixul lui M . Pozitia lui M este definita si de vectorul de pozitie

Se spune ca o functie Z(t) are primitive pe un interval I daca exista o functie Z(t) derivabile pe I si a carei derivate este egala cu z(t) in toate punctele intervalului I; Z'(t) = z(t). Functia Z(t) se numeste primitiva a functiei z(t). Imaginile in planul zOy ale valorilor functiei z(t) formeaza o multime de puncte, imaginea intervalului I prin functia z(t) [t I]. Aceasta imagine este o curba C care are ecuatiile parametrice:

Deci fiecare functie sinusoidala are o imagine in complex si reciproc, orice numar complex este imaginea unei functii sinusoidale.Reprezentarea in complex a functiilor sinusoidale se numeste reprezentarea lui Fresnel. Utilitatea acestei reprezentari rezulta din urmatoarele proprietati:

Conditia este impusa pentru ca functia R(z) sa se inmulteasca cu cea mai mica putere naturala a lui (z - a) care face sa dispara singularitatea. Deci: in orice domeniu marginit, o functie rationala are ca singularitati numai radacinile polinomului de la numitor. Aceste singularitati sunt poli. Ordinul de multiplicitate al fiecarui pol este egal cu ordinul de multiplicitate al radacinii respective.

Remarca : Functia R(z) are ca puncte singulare punctele in care se anuleaza numitorul. Aceste puncte singulare constituie si polii functiei. Dar nu toate punctele singulare ale unei functii sunt si polii ei. De exemplu :

Remarca . Referitor la calcularea integralelor functiilor complexe de variabile complexe, mentionam ca se pot face schimbari de variabila sub integrala ca si in domeniul real, z fiind inlocuit in iar dz prin , in privinta drumului de integrare AB, acesta este inlocuit prin drumul PQ obtinut prin transformarea .Exemplul 1. Calculati integrala de-a lungul unui contur