Operatii cu functii derivabile - derivatele unor functii uzuale

Trimis la data: 2006-05-10 Materia: Matematica Nivel: Facultate Pagini: 5 Nota: / 10 Downloads: 1493
Autor: Sandra Dimensiune: 34kb Voturi: Tipul fisierelor: doc Acorda si tu o nota acestui referat: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
vezi mai multe detalii vezi mai putine detalii
Raporteaza o eroare
Referat despre Operatii cu functii derivabile - derivatele unor functii uzuale
Am întâlnit deja exemple de funcţii derivabile. Este utilă o sinteză a derivatelor funcţiilor uzuale şi se impune stabilirea unor reguli generale de derivare a sumelor, produselor, compunerilor etc. de funcţii derivabile.
II.1o Derivatele câtorva funcţii uzuale
a) Orice funcţie constantă ƒ: R → R, ƒ(x)=c este derivabilă pe R, cu derivata nulă (1).

Referat despre Operatii cu functii derivabile - derivatele unor functii uzuale
b) Funcţia putere ƒ: R → R, ƒ(x) = xn ( n real şi x > 0) este derivabilă pe R şi ƒ’(x)=nxn-1. (2).
c) Funcţia logaritmică ƒ: (0, ) → R, ƒ (x) = ln x este derivabilă pe domeniul de definiţie şi are derivata (3).
d) Funcţiile trigonometrice ƒ, g: R → R, ƒ( x ) = sin x, g( x )=cos x sunt derivabile pe R şi pentru orice x avem
(sin x)’ = cos x
(cos x)’= -sin x

Demonstraţiile tuturor acestor derivate se fac uşor folosind definiţia derivatei.

Reguli de derivare
In continuare arătăm că pentru funcţii ca ƒ, g : E→R derivabile, E R, funcţiile ƒ + g, ƒ-g, fg etc. au aceeaşi proprietate.

Teorema 1
Presupunem că ƒ, g sunt derivabile în punctul x0 E şi o constantă.
Atunci :
(a) suma ƒ + g este derivabilă în x0 şi
(b) λƒ este derivabilă în x0 şi
(c) produsul ƒg este o funcţie, derivabilă în x0 şi

Teroema 2
Presupunem că ƒ şi g sunt derivabile în x0 şi că . Atunci funcţia – cât este derivabilă în x0 şi, în plus :

Derivarea unei funcţii compuse şi a inversei unei funcţii
Trecem acum la stabilirea altor două teorema generale de derivare, relativ la compunere şi inversare. Deosebit de importantă este formula de derivare a funcţiilor compuse. In acest sens, are loc:

Teorema 3
Fie I, J intervale şi două funcţii. Dacă ƒ este derivabilă în punctul x0 I, şi g este derivabilă în punctul y0=ƒ(x0), atunci funcţia compusă G= g ƒ este derivabilă în x0 şi G’(x0) = g’(y0)f’(x0). Dacă ƒ este derivabilă pe I, g este derivabilă pe J, atunci g f este derivabilă pe I şi are loc formula :

Teorema 4
Fie ƒ: I →J o funcţie continuă şi bijectivă între două intervale. Presupunem că ƒ este derivabilă într-un punct x0 I şi ƒ’(x0) 0, atunci inversa g=f-1 este derivabilă în punctul y0=f(x0) şi, în plus,

Derivatele funcţiilor uzuale şi a regulilor de derivare

Reguli de derivare
1.
2.
3.
4.
O funcţie ƒ: [a, b] R (a< b) se numeşte funcţie Rolle dacă este continuă pe intervalul compact [a, b] şi derivabilă pe intervalul deschis (a, b). Teorema care urmează este o consecinţă a rezultatelor privind funcţiile şi a teoremei lui Fermat, foarte utilă în aplicaţii.

Teorema lui M. Rolle
Fie ƒ: [a, b] R a< b o funcţie Rolle astfel încât ƒ(a)= ƒ(b), atunci există cel puţin un punct c (a, b) astfel încât ƒ’(c)=0.
Demonstraţie. Funcţia ƒ fiind continuă (conform teoremei lui Weierstrass) este mărginită şi îşi atinge marginile în [a, b]. Fie m= M= .

Apar trei cazuri :
I. M> ƒ(a). Există un punct c [a, b] astfel încât M=ƒ(c) (M fiind atinsă) şi, evident, c a, a b (dacă c= a sau b, atunci M= ƒ(c) ar fi egal cu ƒ(a)= ƒ(b), absurd); aşadar, c (a, b) şi cum c este maxim local, atunci conform teoremei lui Fermat ƒ’(c)=0.
II. m< ƒ(a). Similar.
III. m= M. Atunci funcţia ƒ este constantă pe [a, b], deci ƒ’(c)=0 pentru orice c (a, b).

COROLAR. Intre două zerouri ale unei funcţii derivabile pe un interval se află cel puţin un zerou al derivatei.

Demonstraţie. Fie ƒ: IR derivabilă pe un interval I şi a, b I, a< b, zerouri ale lui ƒ. Atunci ƒ(a)=0=ƒ(b) şi putem aplica teorema lui Rolle pe intervalul [a, b].

Teorema lui Rolle admite o interpretare geometrică evidentă: dacă
segmentul determinat de punctele (a, ƒ(a)), (b, ƒ(b)) este paralel cu axa Ox, atunci există cel puţin un punct între a şi b în care tangenta la graficul lui ƒ este paralelă cu axa Ox (fig. 6).

Observaţii.
Toate condiţiile din enunţul teoremei lui Rolle sunt necesare, în sensul că dacă s-ar renunţa la vreuna din ele, atunci concluzia nu ar mai fi întotdeauna adevărată.
a) Dacă ƒ ar fi continuă numai pe intervalul deschis (a, b), exemplul funcţiei arată că ƒ’ nu se anulează pe intervalul (0, 1) deşi ƒ(0)=ƒ(1). (fig. 7).
b) Dacă ƒ(a) ƒ(b), este suficient să considerăm funcţia ƒ(x)= x pe [0, 1] (fig 8).
c) Dacă ƒ nu ar fi derivabilă pe întreg intervalul (a, b), concluzia teoremei ar fi falsă, aşa cum arată exemplul funcţiei ƒ(x)=| x | pe intervalul [-1, 1].

Teorema lui Cauchy
Fie ƒ, g două funcţii Rolle pe intervalul compact [a, b], a< b, astfel încât g’(x) 0, x (a, b); atunci există un punct c (a, b) astfel încât

Demonstraţie.
Condiţia g’(x) 0 pentru orice x (a, b) implică faptul că g(a) g(b); într-adevăr, dacă g(a)=g(b), aplicând teorema lui Rolle , ar rezulta că există c (a, b) astfel ca g’(c)=0, ceea ce contravine ipotezei.

Considerăm funcţia ajutătoare F(x)=ƒ(x)+kg(x), k R şi determinăm k astfel ca F(a)=F(b), deci k= . Aplicând teorema lui Rolle funcţiei F cu k astfel determinat, există c (a, b) astfel încât F’(c)=0. Dar F’(x)=F’(x)+kg’(x), x (a, b), deci ƒ’(c)+kg’(c)=0, -k= , de unde se obţine relaţia ce trebuia demonstrată.

Observaţie.
Am fi putut mai întâi sa demonstrăm teorema lui Cauchy şi apoi, pentru g(x)=x, am fi demonstrat teorema lui Lagrange..
In cele ce urmează, vom indica o proprietate importantă a funcţiilor care admit primitive, deci care sunt derivate ale altor funcţii.

Nota explicativa
Referatele si lucrarile oferite de Referate.ro au scop educativ si orientativ pentru cercetare academica.

Iti recomandam ca referatele pe care le downloadezi de pe site sa le utilizezi doar ca sursa de inspiratie sau ca resurse educationale pentru conceperea unui referat nou, propriu si original.

Referat.ro te invata cum sa faci o lucrare de nota 10!
Filmele zilei
Linkuri utile
Programeaza-te online la salonul favorit Descarca gratuit aplicatiile pentru iOS si Android Filmulete haioase Filme, poante si cele mai tari faze Jocuri Cele mai tari jocuri de pe net Referate scoala Resurse, lucrari, referate materiale pentru lucrari de nota 10 Bacalaureat 2019 Vezi subiectele examenului de Bacalaureat din 2019 Evaluare Nationala 2019 Ultimele informatii despre evaluare nationala
Toate imaginile, textele sau alte materiale prezentate pe site sunt proprietatea referat.ro fiind interzisa reproducerea integrala sau partiala a continutului acestui site pe alte siteuri sau in orice alta forma fara acordul scris al referat.ro. Va rugam sa consultati Termenii si conditiile de utilizare a site-ului. Informati-va despre Politica de confidentialitate. Daca aveti intrebari sau sugestii care pot ajuta la dezvoltarea site-ului va rugam sa ne scrieti la adresa webmaster@referat.ro.
Confidentialitatea ta este importanta pentru noi

Referat.ro utilizeaza fisiere de tip cookie pentru a personaliza si imbunatati experienta ta pe Website-ul nostru. Te informam ca ne-am actualizat politica de confidentialitate pentru a integra cele mai recente modificari privind protectia persoanelor fizice in ceea ce priveste prelucrarea datelor cu caracter personal. Inainte de a continua navigarea pe Website-ul nostru te rugam sa aloci timpul necesar pentru a citi si intelege continutul Politicii de Cookie. Prin continuarea navigarii pe Website-ul nostru confirmi acceptarea utilizarii fisierelor de tip cookie conform Politicii de Cookie. Nu uita totusi ca poti modifica in orice moment setarile acestor fisiere cookie urmarind instructiunile din Politica de Cookie.


Politica de Cookie
Am inteles