Polinoame, statistica si probabilitati

Trimis la data: 2005-06-07 Materia: Matematica Nivel: Liceu Pagini: 35 Nota: / 10 Downloads: 17
Autor: Ernest Stefan Dimensiune: 198kb Voturi: Tipul fisierelor: doc Acorda si tu o nota acestui referat: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
vezi mai multe detalii vezi mai putine detalii
Raporteaza o eroare
Fie C mulţimea numerelor complexe. Vom considera F(N,C) mulţimea tuturor funcţiilor definite pe N={0,1,�,n,�} cu valori în C. O astfel de funcţie se numeşte şir de numere complexe. Funcţia este definită dacă ştim cum acţionează pe fiecare element din N, adică ce înseamnă f(k) = ak, k 0. Am notat acest şir f prin (ak), kł0. Deci f = {a0,a1,�,an,�}.

POLINOAME, STATISTICĂ ŞI PROBABILITĂŢI































CAPITOLUL 1 – POLINOAME
 
Fie C mulţimea numerelor complexe. Vom considera F(N,C) mulţimea tuturor funcţiilor definite pe N={0,1,…,n,…} cu valori în C. O astfel de funcţie se numeşte şir de numere complexe. Funcţia este definită dacă ştim cum acţionează pe fiecare element din N, adică ce înseamnă f(k) = ak, k0. Am notat acest şir f prin (ak), k(0. Deci f = {a0,a1,…,an,…}. Egalitatea a două şiruri f = (ak), k(0, g = (bk), k(0 se notează f = g şi are loc dacă ak = bk,() k0 (spunem ca două şiruri sunt egale dacă ele coincid pe componente). Din aceasta mulţime de şiruri F(N,C) ne interesează o submulţime P, formată din aplicaţiile pentru care termenii şirului (ak), k(0 sunt nuli cu excepţia unui număr finit dintre ei. Deci elementele lui P au forma: (a0,a1,…,an,0,0,…) notat (a0,a1,…,an,0), cu an ≠ 0, unde an (elementul de rang maxim nenul) se numeşte coeficientul dominant, la care se adaugă elementul (0,0,…,0,…).
Pe mulţimea P definim două operaţii algebrice:
1)      Adunarea. +: P PP, care asociază fiecărui cuplu (f, g) ( P P elementul notat f + g ( P, numit suma lui f cu g, unde dacă f=(a0,a1,…,an,0), iar g=(b0,b1,…,bn,0), atunci f+g=(a0+b0,a1+b1,…) (spunem că adunarea şirurilor din P se face pe componente). Este clar ca f +g(P, deoarece ak+bk=0,() k>max(n,m).
2)      Înmulţirea. · : P PP, care asociază fiecărui cuplu (f,g)(PP elementul notat f · g(P, numit produsul lui f cu g, unde dacă f = ( a0,a1,…,an,0), g = (b0,b1,…,bn,0), atunci f · g = (c0,c1,c2,…,ck,…), unde c0 = a0b0, c1 = a0b1+a1b0, …, ck = a0bk+a1bk-1+…+ak-1b1+akb0, … . să observăm ca şi aici f · gP deoarece ck = 0,(() k>n+m (pentru k = n + m, ck = anbm)
 

1.1 Proprietăţile adunării în P

A1) Adunarea este asociativă, adică
 
(f + g) + h = f + (g + h), (() f,g,h(P
 
Rezultă imediat din definiţia adunării şi a egalităţii a două elemente din P precum şi din asociativitatea adunării pe C.
 
A2) Adunarea este comutativă, adică
 
f + g = g + f, (() f,g(P
Rezultă imediat din definiţia adunării şi a egalităţii a două elemente din P precum şi din comutativitatea adunării pe C.

A3) Elementul neutru pentru adunare este 0=(0,0,0,…,0,…) P şi are proprietatea
 
f + 0 = 0 + f, (() f(P
 
A4) Orice f(P admite un element notat (-f) şi numit opusul lui f pentru care

f + (-f) = (-f) + f = 0, (() f(P
 
Dacă f = ( a0,a1,…,an,0), atunci –f = (-a0,-a1,…,-an,0).
Spunem ca P împreună cu operaţia de adunare şi proprietăţile A1-A4 formează un grup comutativ.
 


1.2 Proprietăţile înmulţirii în P
 
I1) Înmulţirea este asociativă, adică
 
(f · g) · h = f · (g · h), (() f,g,h(P
 
I2) Înmulţirea este comutativă, adică
 
f · g = g · f, (() f,g(P
 
I3) Elementul unitate pentru înmulţire este 1 = (1,0)P şi are proprietatea
 
f · 1 = 1 · f = f, (() f (P
 
Se spune că P împreună cu operaţia de înmulţire şi proprietăţile I1-I3 este un monoid comutativ.
Cele două operaţii introduse mai sus, adunarea şi înmulţirea, sunt legate între ele prin proprietatea de distributivitate.
 
Distributivitatea: Înmulţirea este distributivă în raport cu adunarea, adică
 
f · (g + h) = f · g + f · h, (() f,g,h(P
 
În concluzie mulţimea P înzestrată cu cele două operaţii având proprietăţile A1-A4, I1-I3 şi distributivitatea înmulţirii în raport cu adunarea se spune că formează un inel comutativ unitar. Să observăm că elementele de forma (a,0), a,b(C se adună şi se înmulţesc în acelaşi mod ca şi elementele lui C,
(a,0) + (b,0) = (a+b,0),
(a,0) · (b,0) = (ab,0).
Acestea ne permit să identificăm astfel de şiruri din P cu elementele corespunzătoare din C, adică (a,0) = a, (() a(C.
Desemnam elementul (0,1,0) = X şi numim X nedeterminată pe C.
Utilizând operaţia de înmulţire din P rezultă
X = (0,1,0), X2 = (0,0,1,0,0), X3 = (0,0,0,1,0), Xn = (0,0,…,0,1,0).
De asemenea avem pentru aC: (0,0,…,0,a,0) = aXn = Xna.
 
Cu aceste observaţii, un element f = (a0, a1, …, an,0∞) din P se scrie:

n
f = a0 + a1X2 + …+ an Xn = ∑ akXk, unde am pus X0 = 1
K=0

 
Mulţimea P pe care am definit operaţiile de adunare şi înmulţire se numeşte mulţimea polinoamelor cu coeficienţi complecşi, iar un element f scris sub forma
n
f = a0 + a1X2 + …+ an Xn = ∑ akXk, unde am pus X0 = 1
K=0
reprezintă forma algebrică a polinomului f de nedeterminată X.
Numerele a0, a1, …, an ( C se numesc coeficienţii polinomului, iar termenii akXk, k = îi vom numi monoame ale polinomului f.
Am văzut mai sus că mulţimea P a polinoamelor cu coeficienţi complecşi împreună cu adunarea şi înmulţirea are o structură de inel comutativ unitar, numit inelul polinoamelor cu coeficienţi complecşi de nedeterminată X.

Observaţie. Se impune să avem grijă în a considera litera X ca reprezentând un element variabil din C; litera X desemnează un polinom particular. Ideea că X reprezintă un element variabil din C provine din confuzia ce se face între polinom cu coeficienţii în C şi funcţia polinomială definită pe C cu valori în C, ataşată polinomului respectiv.
Notaţie. Vom nota mulţimea P a polinoamelor cu coeficienţi complecşi de nedeterminată X prin C[X]. Alte submulţimi ale acestei mulţimi sunt:
Z[X] = submulţimea polinoamelor peste Z de nedeterminată X (sau având coeficienţi întregi).
Q[X] = submulţimea polinoamelor peste Q de nedeterminată X (sau având coeficienţi raţionali )
R[X] = submulţimea polinoamelor peste R de nedeterminată X (sau având coeficienţi reali).
Să reformulăm acum egalitatea, suma şi produsul a două polinoame din C[X] scrise sub forma algebrică.
  
1.      (Egalitatea a două polinoame) Dacă f, g(C[X],
f = a0+ a1X + a2X2 + … + an Xn , g = b0+ b1X + b2X2 + … + bm Xm ,
atunci polinomul f este egal cu g şi scriem :
f = g ai = bi , (() i (0.
2.      (Suma a două polinoame) Suma polinomului f cu polinomul g este polinomul notat cu f + g şi egal cu
f + g = (a + b) + (a 1 + b1)X + (a2 + b2)X2 + …
3.      (Produsul a două polinoame) Produsul polinomului f cu polinomul g este polinomul notat cu fg , egal cu
fg = a0b0 + (a0b1 + a1b0)X + (a0b2 +a1b1 + a2b0)X2 + …
 

 
Deci :
1) Două polinoame sunt egale dacă coeficienţii termenilor care conţin pe X la aceleaşi puteri sunt egali. În particular, un polinom este identic nul dacă toţi coeficienţii săi sunt nuli.
2) Adunarea polinoamelor se face adunând între ei termenii asemenea (cu puteri egale ale lui X).
3) Înmulţirea a două polinoame se face înmulţind fiecare termen din primul polinom cu fiecare din al doilea polinom, după care se reduc termenii asemenea.
 
 
1.3 Gradul unui polinom
 
Fie f = a0+ a1X + a2X2 + … + an Xn (C[X].
 
Definiţie. Se numeşte gradul unui polinom f0, notat grad(f), cel mai mare număr natural n cu proprietatea an ≠ 0.
Dacă f = 0, atunci grad(f) = -.
Deci, grad : C[X] N {-}.

 
Dacă grad(f) = n, atunci f = a0+ a1X + a2X2 + … + an Xn, an ≠ 0. Termenul a0 se numeşte termenul liber al polinomului f, iar coeficientul an ≠ 0 se numeşte coeficientul dominant al polinomului f. Polinoamele f(C se numesc polinoame constante.



1.4 Proprietăţi ale gradului
 
Fie f,g(C[X]. Atunci pentru gradul sumei şi produsului celor două polinoame au loc relaţiile :

grad(f + g) ( max(grad(f), grad(g))
grad(f · g) = grad(f) + grad(g)

 
Deci, gradul sumei a două polinoame este cel mult maximul dintre gradele celor două polinoame, iar gradul produsului a două polinoame este egal cu suma celor două polinoame.
Demonstraţie. Într-adevăr, fie f = a0+ a1X + a2X2 + … + an Xn , an≠0 şi g = b0+ b1X + b2X2 + … + bm Xm , bm ≠ 0. Dacă n > m, atunci grad(f +g) este n deoarece an Xn este termenul de grad cel mai mare din f + g. Dacă m = n, atunci (an + bn)Xn este termenul de grad cel mai mare dacă an + bn ≠ 0 şi deci grad(f + g) = grad(f), iar dacă an + bn = 0, atunci grad(f + g) < grad(f). Deci grad(f + g) ≤ max(grad(f), grad(g)).
Pentru f · g termenul de grad maxim este anbmXn+m, anbm ≠ ...

  • pag. 1
  • pag. 2
  • pag. 3
  • pag. 4
  • pag. 5
  • pag. 6
  • pag. 7
  • pag. 8
  • pag. 9
  • pag. 10

Nota explicativa
Referatele si lucrarile oferite de Referate.ro au scop educativ si orientativ pentru cercetare academica.

Iti recomandam ca referatele pe care le downloadezi de pe site sa le utilizezi doar ca sursa de inspiratie sau ca resurse educationale pentru conceperea unui referat nou, propriu si original.

Referat.ro te invata cum sa faci o lucrare de nota 10!
Filmele zilei
Linkuri utile
Programeaza-te online la salonul favorit Descarca gratuit aplicatiile pentru iOS si Android Filmulete haioase Filme, poante si cele mai tari faze Jocuri Cele mai tari jocuri de pe net Referate scoala Resurse, lucrari, referate materiale pentru lucrari de nota 10 Bacalaureat 2019 Vezi subiectele examenului de Bacalaureat din 2019 Evaluare Nationala 2019 Ultimele informatii despre evaluare nationala
Toate imaginile, textele sau alte materiale prezentate pe site sunt proprietatea referat.ro fiind interzisa reproducerea integrala sau partiala a continutului acestui site pe alte siteuri sau in orice alta forma fara acordul scris al referat.ro. Va rugam sa consultati Termenii si conditiile de utilizare a site-ului. Informati-va despre Politica de confidentialitate. Daca aveti intrebari sau sugestii care pot ajuta la dezvoltarea site-ului va rugam sa ne scrieti la adresa webmaster@referat.ro.
Confidentialitatea ta este importanta pentru noi

Referat.ro utilizeaza fisiere de tip cookie pentru a personaliza si imbunatati experienta ta pe Website-ul nostru. Te informam ca ne-am actualizat politica de confidentialitate pentru a integra cele mai recente modificari privind protectia persoanelor fizice in ceea ce priveste prelucrarea datelor cu caracter personal. Inainte de a continua navigarea pe Website-ul nostru te rugam sa aloci timpul necesar pentru a citi si intelege continutul Politicii de Cookie. Prin continuarea navigarii pe Website-ul nostru confirmi acceptarea utilizarii fisierelor de tip cookie conform Politicii de Cookie. Nu uita totusi ca poti modifica in orice moment setarile acestor fisiere cookie urmarind instructiunile din Politica de Cookie.


Politica de Cookie
Am inteles