Serii Fourier

Trimis la data: 2007-03-03 Materia: Matematica Nivel: Gimnaziu Pagini: 10 Nota: / 10 Downloads: 20
Autor: Sergiu Davidescu Dimensiune: 92kb Voturi: Tipul fisierelor: doc Acorda si tu o nota acestui referat: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
vezi mai multe detalii vezi mai putine detalii
Raporteaza o eroare
Funcţiile periodice constituie una din clasele de funcţii care datorită proprietăţilor lor intervin în diverse probleme teoretice şi practice.Un exemplu de reprezentări şi studiu al acestor funcţii îl constituie dezvoltarea în serie Fourier.În mai multe cazuri dezvoltarea unei funcţii în serie Fourier este mai convenabilă decât dezvoltarea în serie Taylor.

Definiţie.Coeficienţi Fourier.

Definiţia 1

Se numeşte serie trigonometrica, o serie de forma:

akcoskx+bksinkx] (II 1)

unde a0,ak,bk sunt numere reale, independente de valorile variabilei x.

Fie f(x) o funcţie integrabilă de perioadă 2π.Să presupunem că:

1°. funcţia f(x) poate fi reprezentată printr-o serie trigonometrică

f(x)= akcoskx+bksin kx] (II 2)

2°. seria (II-2) poate fi integrată termen cu termen după înmulţirea ei cu
cos∙n∙x şi sinx, atunci, deoarece:
(II 3)
şi (II 4)
avem:
Deasemeni, deoarece (II 5)
rezultă (II 6)
Analog
Dar conform relatiilor (II 3), (II 4), (II 5), avem:
, .
deci: (II 6`)
De asemenea, înmulţind dezvoltarea(II-2) cu sin nx dx şi integrând între 0 şi 2π, obţinem analog (II 7)


Definiţia 2
Coeficienţii a şi b sau a şi b se numesc coeficienţi Fourier, iar dezvoltarea (II-2) serie Fourier

OBSERVAŢIE
Deoarece integrala unei funcţii periodice de perioadă 2π este aceeaşi pe orice interval de lungime 2π, între integralele care dau a , a şi b , pot fi scrise:

(II 8)

Seriile Fourier a unei funcţii pare şi a unei impare

1°. Fie f(x) o funcţie de variabilă reală, pară, periodică de perioadă 2π. Avem :
f(-x)=f(x) (II 9)

Dar facem în prima integrală x=-u şi obţinem deoarece limita de integrare se schimbă.
Deci
sau
Deci (II 10)

Avem însă
Facem în prima integrală x=-u şi obţinem
Cum cos u este de asemeni o funcţie pară, atunci

deci: (II 11)

De asemeni, ţinănd seama de formula (II-7) avem: = du= =
(pentru că sinusul este o funcţie impară) sau 2b =0 sau b =0 (II 12)
Deci o o funcţie pară are seria Fourier:

(II 13)
Unde a0 şi ak sunt daţi de formulele (II-10) şi (II-11).

2° Fie acum f(x) o funcţie reală, impară,periodică de perioadă 2π.

Avem : f(-x)=-f(x)
dar a0= cu x=-u
a0= =a0
deci
a0=0 (II 14)
analog obţinem
an=0 (II 15)
şi bn= (II 16)
deci seria Fourier a unei funcţii impare este
(II 16`)


Seria Fourier unei funcţii periodice de perioadă T


Am studiat până acum funcţiile cu perioadă 2π.În aplicaţii intervin adesea fenomene periodice reprezentate prin funcţii periodice cu perioada oarecare T.
f(x+T)=f(x)
Prin schimbare de variabilă ą ;
obţinem unde F(ξ) este o funcţie periodică 2π. Într-adevăr avem

Deci toate rezultatele obţinute pentru funcţiile periodice cu perioada 2π rămân adevărate pentru funcţiile periodice cu perioadă oarecare.
Să stabilim forma seriei Fourier şi expresia coeficienţilor în cazul când perioada este T.
Ţinând seama de schimbare de variabilă făcută pentru funcţia F(ξ) putem scrie:
(II 24)
cu a0=
ak= (II 25)
bk=
sau revenind la variabila x
(II 26)
unde am notat
Pentru a calcula coeficienţii seriei în integralele care intervin, efectuăm schimbarea de variabilă:


Pentru limitele de integrare şi
obţinem:

a0=
ak= (II 27)
bk=
Dacă f(x) este o funcţie pară, obţinem în acelaşi mod
cu bk=

  • pag. 1
  • pag. 2
  • pag. 3
  • pag. 4
  • pag. 5
  • pag. 6
  • pag. 7
  • pag. 8
  • pag. 9
  • pag. 10

Nota explicativa
Referatele si lucrarile oferite de Referate.ro au scop educativ si orientativ pentru cercetare academica.

Iti recomandam ca referatele pe care le downloadezi de pe site sa le utilizezi doar ca sursa de inspiratie sau ca resurse educationale pentru conceperea unui referat nou, propriu si original.

Referat.ro te invata cum sa faci o lucrare de nota 10!
Linkuri utile
Programeaza-te online la salonul favorit Descarca gratuit aplicatiile pentru iOS si Android Filmulete haioase Filme, poante si cele mai tari faze Jocuri Cele mai tari jocuri de pe net Referate scoala Resurse, lucrari, referate materiale pentru lucrari de nota 10
Toate imaginile, textele sau alte materiale prezentate pe site sunt proprietatea referat.ro fiind interzisa reproducerea integrala sau partiala a continutului acestui site pe alte siteuri sau in orice alta forma fara acordul scris al referat.ro. Va rugam sa consultati Termenii si conditiile de utilizare a site-ului. Informati-va despre Politica de confidentialitate. Daca aveti intrebari sau sugestii care pot ajuta la dezvoltarea site-ului va rugam sa ne scrieti la adresa webmaster@referat.ro.
Confidentialitatea ta este importanta pentru noi

Referat.ro utilizeaza fisiere de tip cookie pentru a personaliza si imbunatati experienta ta pe Website-ul nostru. Te informam ca ne-am actualizat politica de confidentialitate pentru a integra cele mai recente modificari privind protectia persoanelor fizice in ceea ce priveste prelucrarea datelor cu caracter personal. Inainte de a continua navigarea pe Website-ul nostru te rugam sa aloci timpul necesar pentru a citi si intelege continutul Politicii de Cookie. Prin continuarea navigarii pe Website-ul nostru confirmi acceptarea utilizarii fisierelor de tip cookie conform Politicii de Cookie. Nu uita totusi ca poti modifica in orice moment setarile acestor fisiere cookie urmarind instructiunile din Politica de Cookie.


Politica de Cookie
Am inteles