Geometrie analitica

ˆIn planul euclidian E2, ˆin reperul ortonormat R = (O; AZe1, AZe2) , se
consider˘a punctele A(1, 0), B(0, 1). S˘a se determine izometriile I• : E2 →
E2 ale planului care duc punctele A, O ˆin punctele O, B respectiv. S˘a se
determine elementele geometrice asociate acestor izometrii.
SolutA¸ie. Dac˘a I• este o izometrie de tipul I, ecuatA¸iile sale sunt de forma

x = x cos θ aˆ’ y sin θ + a1
y = x sin θ + y cos θ + a2
.
Din conditA¸ia I•(A) = O rezult˘a a1 = 0, a2 = 1, iar din conditA¸ia I•(O) = B
se obtA¸ine sin θ = aˆ’1, cos θ = 0. EcuatA¸iile izometriei se scriu

x = y
y = aˆ’x + 1
.
Izometria I• este rotatA¸ia planului de unghi θ = 3π
2 , ˆin jurul punctului fix
C

1
2 , 1
2

.
Dac˘a I• este o izometrie de tipul II, ecuatA¸iile sale sunt de forma

x = x cos θ + y sin θ + a1
y = x sin θ aˆ’ y cos θ + a2
.
Din conditA¸iile I•(A) = O, I•(O) = B rezult˘a a1 = 0, a2 = 1, sin θ = aˆ’1,
cos θ = 0, deci ecuatA¸iile izometriei se scriu