Analiza cu element finit

Lucrare de licenta in pdf
Lucrare de licenta despre Analiza cu element finit

Definirea conceptului
In general, problemele care apar in domeniul ingineresc necesita, mai intai, o modelare fizica pe baza caruia trebuie construit un model matematic. Rezolvarea modelului matematice conduce la obtinerea solutiei exacte a problemei.

Fenomenele fizice care trebuie studiate sunt: deplasari, stari de eforturi unitare (tensiuni), temperaturi, presiuni, viteze.

Aceste fenomene pot fi modelate matematic cu ajutorul ecuatiilor diferentiale, prin a caror integrare, in conditii limita date, se obtine solutia exacta a problemei intr-o infinitate de puncte ale domeniului.

Cateva exemple de astfel de ecuatii sunt prezentate in cele ce urmeaza:
- solicitarea axiala a unei bare la intindere. Fie o bara solida de
sectiune A, realizata dintr-un material caracterizat de modulul lui Young E, avand lungimea l. Bara este solicitata de forta P (figura 1.1).

Aplicand relatia efortului unitar la intindere, legea lui Hooke si relatia ce defineste legatura dintre deformatie - deplasare se va obtine

Lucrare de licenta despre Analiza cu element finit

Lucrare de licenta in pdf
Lucrare de licenta despre Analiza cu element finit

Partea I Elemente finite – prezentarea metodei
Capitolul 1 - Introducere in metoda elementelor finite - MEF
1.1 Definirea conceptului ........................5
1.2 Scurt istoric.................................9
1.3 Rolul si locul metodei elementului finit in inginerie ............10
1.4 Interpretarea fizica si matematica a metodei elementelor finite...13
1.4.1 Interpretarea fizica ..........................13
1.4.2 Interpretarea matematica.......................14
1.5 Etapele de rezolvare a unei probleme cu ajutorul metodei
elementelor...................23

Capitolul 2 - Metoda directa (metoda rigiditatilor)
2.1 Introducere ................................28
2.2 Modelare cu ajutorul elementelor finite...................32
2.3 Forte in articulatiile structurii si deplasari ...........33
2.4 Sistemul global de ecuatii................................35
2.5 Etapele de aplicare a metodei directe ....................36
2.5.1 Dezasamblare structurii.................................36
2.5.2 Asamblarea structurii ..................................38
2.5.2.1 Transformari de coordonate ...........................39
2.5.2.2 Rescrierea sistemelor de ecuatii in sistemul de coordonate global (globalizare) .............40
2.5.2.3 Reguli generale la asamblarea structurii ........41
2.5.3 Solutia sistemului global de ecuatii...............45
2.5.3.1 Considerarea conditiilor pe contur utilizand
metoda reducerii.................45
2.5.3.2 Determinarea necunoscutelor primare ..........45
2.5.4 Postprocesare...................................46
2.5.4.1 Determinarea reactiunilor ....................46
2.5.4.2 Determinarea fortelor interne si a eforturilor unitare.......46
2.6 Considerarea efectelor termice ....................47
2.7 Concluzii...................50

Capitolul 3 - Metode de determinare a matricei de rigiditate pentru structuri alcatuite din elemente unidimensionale
3.1 Prezentarea metodei................51
3.2 Determinarea matricei de rigiditate pentru elemente de tip
simplex.................54
3.2.1 Elementul de tip „bara”(truss) revizuit......................54
3.2.2 Element de tip “forfecare” (“spar”sau “shear-web”) ..........56
3.2.3 Cazul general – elemente cu valori interne variabile in lungul elementului................57
3.3 Analiza comparata a pasilor urmati in aplicarea metodei directa
si a metoda diferentiale ..............58
3.3.1 Metoda directa...................59
3.3.2 Metoda variationala..............60

Capitolul 4. Modelarea cu elemente finite
4.1 Discretizare ......................63
4.2 Prezentarea tipurilor de elemente finite ...................65
4.3 Recomandari privind modelarea cu elemente finite ...........74
4.3.1 Dimensiunile si numarul elementelor finite ...............74
4.3.2 Localizarea nodurilor ....................................75
4.3.3 Schema de numerotare a elementelor finite si a nodurilor......76
4.3.4 Aspecte privind simetria structurilor in metoda elementului finit ........80
4.3.5 Tratarea incarcarilor distribuite in aplicatiile cu elemente finite................82

Capitolul 5 - Functii de interpolare. Functii pondere
5.1 Determinarea campului de deplasari pe elementul finit...........87
5.2 Proprietatile functiilor de interpolare...................91
5.2.1 Continuitatea...........................91
5.2.2 Compatibilitatea si conformitatea.......91
5.2.3 Complinire .............................92
5.2.4 Invarianta .............................95
5.3 Coordonate naturale.......................97
5.4 Determinarea functiilor de forma sau pondere .................100
5.4.1 Functii pondere pentru elemente finite unidimensionale......102
5.4.2 Functii pondere pentru elemente finite bidimensionale.......105
5.4.2.1 Functii pondere pentru elemente triunghiulare ............105
5.4.2.2 Functii pondere pentru elemente finite patrulatere........108
5.4.3 Functii pondere pentru elemente finite tridimensionale .....112
5.5 Functii clasice de interpolare ...................113
5.5.1 Forma Lagrange de interpolare ..................114
5.5.2 Functiile Hermite de interpolare (osculatoare)..............116

Capitolul 6 - Constituirea ecuatiilor elementale
6.1 Energia potentiala si starea de echilibru..................122
6.2 Metoda Rayleigh – Ritz ........................124
6.3 Metoda Galerkin ...............................125
6.4 Constituirea ecuatiilor elementale pentru elementul unidimensional de tip “bara” utilizand metoda Galerkin..............130
6.5 Constituirea ecuatiilor elementale pentru elementul finit
unidimensional de tip “grinda” utilizand metoda energiei potentiale.......132
6.6 Constituirea ecuatiilor elementale pentru elemente finite
bidimensionale utilizand metoda energiei potentiale...........137
6.7 Elementul finit triunghiular cu efort liniar plan (Constant
Strain Triangle CST (triunghi cu deformatii constante)) ...........142
6.8 Calculul derivatelor partiale. Matricea Jacobiana. ............146
6.8.1 Matricea Jacobiana ........................146
6.8.2 Integrare numerica utilizand metoda Gauss ..................148

Capitolul 7 - Procesul de asamblare a ecuatiilor elementale
7.1 Transformari de coordonate.................154
7.1.1 Transformarea deformatiilor..............154
7.1.2 Transformarea tensiunilor................156
7.1.3 Transformarea matricei de elasticitate ...............157
7.1.4 Transformarea rigiditatilor, deplasarilor si fortelor .........159
7.2 Asamblarea ecuatiilor elementale ...........160

Capitolul 8 - Conditii limita (conditii pe contur)
8.1 Metode de impunere a conditiilor limita multipunct..........171
8.1.1 Metoda eliminarii (metoda „master-slave”).................174
8.1.2 Metoda penalitatilor..............................179
8.1.3 Metoda multiplicatorilor Lagrange ................185

Capitolul 9 - Metode de rezolvare a sistemelor de ecuatii
9.1 Metode directe .......................190
9.1.1 Metoda eliminarii Gauss (metoda substitutiei) ..........190
9.1.2 Factorizarea Choleski......................199
9.2 Metode iterative.............................204
9.2.1 Metoda Gauss – Seidel .....................204

Capitolul 10 - Necunoscute de ordin doi. Postprocesare.
10.1 Tensiuni .......................205
10.2 Deformatii specifice............211
10.3 Relatii intre deformatii specifice, rotiri si deplasari........215
10.4 Relatii dintre tensiuni si deformatii..................219
10.5 Postprocesare. Metoda directa de determinare a tensiunilor.....223

Capitolul 11 - Elemente de algebra matriceala
11.1 Vectori. Definitii. Operatii cu vectori. ...............228
11.2 Matrice. Definitii. Operatii algebrice..................236
11.3 Determinanti.Definitii. Proprietati. ...................243

Partea a II-a Elemente finite. –elemente de programare utilizand
limbajul Mathematica
Capitolul 12 - Structura unui program de calcul MEF destinat analizei cu elemente finite
12.1 Structura unui program de calcul MEF destinat analizei cu
elemente finite..............250

Capitolul 13 - Implementarea pe calculator a elementului monoaxial „bara” (truss) definit prin metoda deplasarilor.
13.1 Implementarea pe calculator a elementului monoaxial „bara......256

Capitolul 14 - Implementarea a unor elemente izoparametrice (definite prin metoda variationala).
14.1 Implementarea elementelor finite izoparametrice unidimensionale...........267
14.1.1 Implementarea elementului finit 2D de tip „bara” ............267
14.1.2 Implementarea elementului finit 2D de tip „grinda” (beam) ...272
14.2 Implementarea elementelor finite izoparametrice bidimensionale...........279
14.2.1 Elemente finite izoparametrice de tip „patrulater” ........279

Capitolul 15 - Rezolvarea sistemului de ecuatii caracteristic. Metoda Skyline
15.1 Rezolvarea sistemului de ecuatii caracteristic. Metoda Skyline .........286

Bibliografie .................301