Fibonacci

Trimis la data: 2002-12-19
Materia: Matematica
Nivel: Liceu
Pagini: 5
Nota: 7.11 / 10
Downloads: 2478
Autor: Andrei t.
Dimensiune: 36kb
Voturi: 100
Tipul fisierelor: doc
Acorda si tu o nota acestui referat:
Fibonacci a fost unul dintre cei mai mari matematicieni ai Evului Mediu. El s-a nascut in anul 1175, in Italia si a fost educat in Nordul Africii, unde tatal sau detinea un post diplomatic.
Marele matematician a ramas in memoria noastra prin binecunoscutul +ir Fibonacci: 0 ,1 , 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
Fibonacci

0x01 graphic

Fibonacci a fost unul dintre cei mai mari matematicieni ai Evului
Mediu. El s-a n[scut ]n anul 1175, ]n Italia =i a fost educat ]n
Nordul Africii, unde tat[l s[u deinea un post diplomatic.

Marele matematician a r[mas ]n memoria noastr[ prin binecunoscutul +ir
Fibonacci: 0 ,1 , 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

}n anul 1202 fost introdus acest =ir de c[tre Fibonacci, atunci
matematicianul fiind sub numele de Leonardo Pisano (Leonard din Pisa).

}n acela=i an Fibonacci public[ un tratat de aritmetic[ =i algebr[
numit "Liber abaci". }n acest tratat, el introduce pentru prima dat[
]n Europa sistemul de numeraie poziional arab. De asemenea, ]n anul
1220 el public[ "Practica geometriae", un compendiu de rezultate din
geometrie =i trigonometrie, iar ]n 1225 "Liber quadratorum", ]n care
studia calculul radicalilor cubici.

Mai t`rziu, matematicianul ]nsu=i =i-a spus Leonardus filius Bonacci
Pisanus (Leonard fiul lui Bonacci Pisanul).

}n secolul XIV =irul prezentat mai sus a fost denumit +irul lui
Fibonacci prin contracia cuvintelor filius Bonacci. Acest =ir apare
]n cartea "Liber abaci" =i este utilizat ]n rezolvarea unei probleme
de matematic[.

O problem[ pe care a investigat-o Fibonacci ]n anul 1202, ]n cadrul
unui concurs de matematic[ condus de ]mp[ratul Frederick al II-lea,
suna astfel:

Presupunem c[ o pereche de iepuri nou-n[scut[, un mascul =i o femel[,
este pus[ pe un c`mp. Iepurii sunt capabili s[ se ]mperecheze de la
v`rsta de o lun[ astfel ]nc`t la sf`r=itul celei de-a doua luni din
viaa femelei, ea na=te o alt[ pereche de iepuri. Presupun`nd c[
iepurii nu mor niciodat[ =i c[ femela na=te ]ntotdeauna o perche nou[
(o femel[, un mascul) ]n fiecare lun[ ]ncep`nd cu cea de-a doua lun[,
calculai c`te perechi de iepuri vor fi ]ntr-un an.

}n continuare va fi prezentat[ soluia problemei ]n care vestitul =ir
al lui Fibonacci poate fi utilizat ]n rezolvare.

Soluie:

1. La sf`r=itul primei luni, iepurii se ]mperecheaz[, dar ]nc[ mai
exist[ doar o singur[ pereche.
2. La sf`r=itul celei de-a doua luni, femela produce o nou[ pereche,
astfel ]nc`t pe c`mp se afl[ dou[ perechi de iepuri.
3. La sf`r=itul celei de-a treia luni, femela iniial[ na=te a doua
pereche, rezult`nd acum trei perechi de iepuri ]n c`mp.
4. La sf`r=itul celei de-a patra luni, femela iniial[ a produs deja
o alt[ pereche, iar femela n[scut[ acum dou[ luni produce prima ei
pereche, rezult`nd cinci perechi de iepuri.

0x01 graphic

Num[rul de perechi de iepuri din c`mp la ]nceputul fiec[rei luni este:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ........

Se poate observa de ce acesta este r[spunsul la aceast[ problem[? Iat[
de ce:

Dac[ consider[m f(n) = num[rul de perechi de iepuri din c`mp la
]nceputul lunii n, vom ar[ta c[ f(1)=1, f(2)=1 =i f(n)=f(n-1)+f(n-2),
care este exact definiia +irului lui Fibonacci (care are de asemenea
f(0)=0).

}n primul r`nd ]ncepem cu luna 1 cu o pereche de iepuri nou-n[scut[,
deci: f(1)=1

Exist[ de asemenea o pereche doar ]n timpul lunii a 2-a pentru c[ nu
sunt suficient de maturi s[ aib[ urma=i, astfel ]nc`t: f(2)=1

Deoarece presupunem c[ ei se ]mperecheaz[ la v`rsta de 2 luni, atunci
o nou[ pereche este n[scut[ la ]nceputul lunii a treia.

Deci, c`i iepuri vor fi dup[ cea de-a doua lun[? Ce este f(n)?

Toi iepurii din luna precedent[ (vor fi f(n-1) din ei) au
supravieuit, a=a c[ vor fi cel puin f(n-1) din ei. C`i iepuri noi
s-au n[scut? Fiecare pereche de iepuri care s-au n[scut acum dou[ luni
este capabil[ s[ produc[ o nou[ pereche =i presupunem c[ ]ntotdeauna
vor produce =i fiecare va putea s[ produc[ o singur[ pereche nou[ pe
lun[. Astfel, num[rul de perechi de nou-n[scui este acela=i cu
num[rul de perechi 2 care tr[iesc de dou[ luni: f(n-2). De vreme ce
toi iepurii s-au n[scut luna trecut[ sau sunt n[scui luna aceasta,
vom avea:

f(n) = f(n-1) + f(n-2) dac[ n>2

care este definiia +irului lui Fibonacci (]ncep`nd cu 0 =i 1).

Seciunea de aur

Problema ]nmulirii iepurilor este departe de a fi realist[, chiar
dac[ a dus la o descoperire at`t de important[ cum este acest

=ir. Dar cunoscutul +ir al lui Fibonacci, generat de aceast[ problem[,
are numeroase aplicaii deosebit de interesante. Unul dintre cele mai
importante aspecte este leg[tura dintre numerele Fibonacci =i
seciunea de aur.

Seciunea de aur este probabil unul dintre cele mai misterioase
numere, constituind de secole o fascinaie pentru matematicieni =i
arti=ti. Ca =i numerele iraionale p sau e , pare a face parte din
"constituia" Universului, seciunea de aur reg[sindu-se sistematic ]n
lumea vie. De exemplu, o reg[sim ]n modul de dispunere al frunzelor,
petalelor sau seminelor de plante, ]n raportul dintre diferite p[ri
ale corpului omenesc, etc...

Acest num[r a fost cunoscut =i studiat ]nc[ din antichitate, sculptura
=i arhitectura Greciei Antice din secolul 5 ].H. respect`nd cu
rigurozitate seciunea de aur, ea fiind considerat[ o m[sur[ a
armoniei =i echilibrului.

Dup[ anul 1228, nu se mai aude nimic despre viaa lui Fibonacci.
Totu=i, se =tie c[ la sentin[ Republica din Pisa l-a premiat cu un
salariu anual ]n plus fa[ de obi=nuitele ]ncuviin[ri. Aceast[ leaf[
l-a r[spl[tit pe Fibonacci pentru sfaturile lui c[tre Republic[ ]n
probleme legate de contabilitate =i de matematic[.

Marele matematician a murit c`ndva dup[ anul 1240, probabil ]n Pisa.

CIORTEA CLAUDIU

- clasa 9-a J-

Colegiul Naional "Mihai Viteazul"

Profesor: Mioara Gheorghe

Powered by [1]http://www.referat.ro/

cel mai complet site cu referate

References

1. http://www.referat.ro/
Home | Termeni si conditii | Politica de confidentialitate | Cookies | Help (F.A.Q.) | Contact | Publicitate
Toate imaginile, textele sau alte materiale prezentate pe site sunt proprietatea referat.ro fiind interzisa reproducerea integrala sau partiala a continutului acestui site pe alte siteuri sau in orice alta forma fara acordul scris al referat.ro. Va rugam sa consultati Termenii si conditiile de utilizare a site-ului. Informati-va despre Politica de confidentialitate. Daca aveti intrebari sau sugestii care pot ajuta la dezvoltarea site-ului va rugam sa ne scrieti la adresa webmaster@referat.ro.